1. 证明 $EX_T^2$ 有限.

2. 证明 $E\vqty{X_T}$ 有限.

由 Schwartz 不等式, $E(XY) \le E(X^2) E(Y^2)$, 有

3. $\nlim E\vqty{X_n I_\Bqty{T > n}} = 0$.

由 Schwartz 不等式,

从而 $\nlim E\vqty{X_n I_\Bqty{T > n}} = 0$.

4. 于是满足定理 4.3.2 的条件, 从而 $EX_0 = EX_T$. 证毕.